本大纲适用于工学理学专业的考生。

总需要考生应按本大纲的需要，知道或理解高等数学中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间分析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本定义与基本理论;掌握、学会或熟练学会上述各部分的基本办法。应注意各部分常识的结构及常识的内在联系;应具备肯定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力;能运用基本定义、基本理论和基本办法正确地推理证明，准确地计算;能综合运用所学常识剖析并解决简单的实质问题。

本大纲对内容的需要由低到高，对定义和理论分为知道和理解两个层次;他们法和运算分为会、学会和熟练学会三个层次。

复习考试内容

1、函数、极限和连续

函数

1.常识范围

函数的定义

函数的概念 函数的表示法 分段函数 隐函数

函数的性质

单调性 奇偶性 有界性 周期性

反函数

反函数的概念 反函数的图像

基本初等函数

幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数

函数的四则运算与复合运算

初等函数

2.需要

理解函数的定义。会求函数的表达式、概念域及函数值。会求分段函数的概念域、函数值，会作出简单的分段函数的图像。

理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。

知道函数 与其反函数 之间的关系，会求单调函数的反函数。

熟练学会函数的四则运算与复合运算。

学会基本初等函数的性质及其图像。

知道初等函数的定义。

会打造简单实质问题的函数关系式。

极限

1.常识范围

数列极限的定义

数列 数列极限的概念

数列极限的性质

唯一性 有界性 四则运算法则 夹逼定理 单调有界数列极限存在定理

函数极限的定义

函数在一点处极限的概念 左、右极限及其与极限的关系 趋于无穷 时函数的极限 函数极限的几何意义

函数极限的性质

唯一性 四则运算法则 夹通定理

无穷小量与无穷很多

无穷小量与无穷很多的概念 无穷小量与无穷很多的关系 无穷小量的性质 无穷小量的阶

两个要紧极限

2.需要

理解极限的定义。会求函数在一点处的左极限与右极限，知道函数在一点处极限存在的充分必要条件。

知道极限的有关性质，学会极限的四则运算法则。

理解无穷小量、无穷很多的定义，学会无穷小量的性质、无穷小量与无穷很多的关系。会进行无穷小量阶的比较。会运用等价无穷小量代换求极限。

熟练学会用两个要紧极限求极限的办法。

连续

1.常识范围

函数连续的定义

函数在一点处连续的概念 左连续与右连续 函数在一点处连续的充分必要条件 函数的间断点及其分类

函数在一点处连续的性质

连续函数的四则运算 复合函数的连续性 反函数的连续性

闭区间上连续函数的性质

有界性定理 最大值与最小值定理 介值定理

初等函数的连续性

2.需要

理解函数在一点处连续与间断的定义，理解函数在一点处连续与极限存在的关系，学会判断函数在一点处的连续性的办法。

会求函数的间断点及确定其种类。

学会在闭区间上连续函数的性质，会用介值定理推证一些简单命题。

理解初等函数在其概念区间上的连续性，会借助连续性求极限。

2、一元函数微分学

导数与微分

1.常识范围

导数定义

导数的概念 左导数与右导数 函数在一点处可导的充分必要条件 导数的几何意义与物理意义 可导与连续的关系

求导法则与导数的基本公式

导数的四则运算 反函数的导数 导数的基本公式

求导办法

复合函数的求导法 隐函数的求导法 对数求导法 由参数方程确定的函数的求导法 求分段函数的导数

高阶导数

高阶导数的概念 高阶导数的计算

微分

微分的概念 微分与导数的关系 微分法则 一阶微分形式不变性

2.需要

理解导数的定义及其几何意义，知道可导性与连续性的关系，学会用概念求函数在一点处的导数的办法。

会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

熟练学会导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导办法，会求反函数的导数。

学会隐函数求导法、对数求导法与由参数方程所确定的函数的求导办法，会求分段函数的导数。

理解高阶导数的定义，会求简单函数的 阶导数。

理解函数的微分定义，学会微分法则，知道可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

微分中值定理及导数的应用

1.常识范围

微分中值定理

罗尔定理 拉格朗日中值定理

洛必达法则

函数增减性的断定法

函数的极值与极值点 最大值与最小值

曲线的凹凸性、拐点

曲线的水平渐近线与铅直渐近线

2.需要

理解罗尔定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。会用罗尔定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。

熟练学会用洛必达法则求各种型未定式的极限的办法。

学会借助导数断定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的办法，会借助函数的单调性证明简单的不等式。

理解函数极值的定义。学会求函数的极值、最大值与最小值的办法，会解简单的应用问题。

会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线。

会作出简单函数的图形。

3、一元函数积分学

不定积分

1.常识范围

不定积分

原函数与不定积分的概念 原函数存在定理 不定积分的性质

基本积分公式

换元积分法

第1换元法 第二换元法

分部积分法

一些简单有理函数的积分

2.需要

理解原函数与不定积分的定义及其关系，学会不定积分的性质，知道原函数存在定理。

熟练学会不定积分的基本公式。

熟练学会不定积分第1换元法，学会第二换元法。

熟练学会不定积分的分部积分法。

会求简单有理函数的不定积分。

定积分

1.常识范围

定积分的定义

定积分的概念及其几何意义 可积条件

定积分的性质

定积分的计算

变上限积分 牛顿莱布尼茨公式 换元积分法 分部积分法

无穷区间的广义积分

定积分的应用

平面图形的面积 旋转体体积 物体沿直线运动时变力所作的功

2.需要

理解定积分的定义及其几何意义，知道函数可积的条件。

学会定积分的基本性质。

理解变上限积分是变上限的函数，学会对变上限定积分求导数的办法。

熟练学会牛顿莱布尼茨公式。

学会定积分的换元积分法与分部积分法。

理解无穷区间的广义积分的定义，学会其计算办法。

学会直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积与平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积。

会用定积分求沿直线运动时变力所作的功。

4、向量代数与空间分析几何

向量代数

1.常识范围

向量的定义

向量的概念 向量的模 单位向量 向量在坐标轴上的投影 向量的坐标表示法 向量的方向余弦

向量的线性运算

向量的加法 向量的减法 向量的数乘

向量的数目积

二向量的夹角 二向量垂直的充分必要条件

二向量的向量积 二向量平行的充分必要条件

2.需要

理解向量的定义，学会向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。

熟练学会向量的线性运算、向量的数目积与向量积的计算办法。

熟练学会二向量平行、垂直的充分必要条件。

平面与直线

1.常识范围

容易见到的平面方程

点法式方程 一般式方程

两平面的地方关系

点到平面的距离

空间直线方程

标准式方程一般式方程 参数式方程

两直线的地方关系

直线与平面的地方关系

2.需要

会求平面的点法式方程、一般式方程。会断定两平面的垂直、平行。会求两平面间的夹角。

会求点到平面的距离。

知道直线的一般式方程，会求直线的规范式方程、参数式方程。会断定两直线平行、垂直。

会断定直线与平面间的关系。

简单的二次曲面

1.常识范围

球面 母线平行于坐标轴的柱面 旋转抛物面 圆锥面 椭球面

2.需要

知道球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。

5、多元函数微积分学

多元函数微分学

1.常识范围

多元函数

多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数极限与连续的定义

偏导数与全微分

偏导数 全微分 二阶偏导数

复合函数的偏导数

隐函数的偏导数

二元函数的无条件极值与条件极值

2.需要

知道多元函数的定义、二元函数的几何意义。会求二次函数的表达式及概念域。知道二元函数的极限与连续定义。

理解偏导数定义，知道偏导数的几何意义，知道全微分定义，知道全微分存在的必要条件与充分条件。

学会二元函数的1、二阶偏导数计算办法。

学会复合函数一阶偏导数的求法。

会求二元函数的全微分。

学会由方程 所确定的隐函数 的一阶偏导数的计算办法。

会求二元函数的无条件极值。会用拉格朗日乘数法求二元函数的条件极值。

二重积分

1.常识范围

二重积分的定义

二重积分的概念二重积分的几何意义

二重积分的性质

二重积分的计算

二重积分的应用

2.需要

理解二重积分的定义及其性质。

学会二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算办法。

会用二重积分解决简单的应用问题。

6、无穷级数

数项级数

1.常识范围

数项级数

数项级数的定义 级数的收敛与发散 级数的基本性质 级数收敛的必要条件

正项级数收敛性的辨别法

比较辨别法 比值辨别法

任意项级数

交错级数 绝对收敛 条件收敛 莱布尼茨辨别法

2.需要

理解级数收敛、发散的定义。学会级数收敛的必要条件，知道级数的基本性质。

学会正项级数的比值辨别法。会用正项级数的比较辨别法。

学会几何级数、调和级数与级数的收敛性。

知道级数绝对收敛与条件收敛的定义，会用莱布尼茨辨别法。

幂级数

1.常识范围

幂级数的定义

收敛半径 收敛区间

幂级数的基本性质

将简单的初等函数展开为幂级数

2.需要

知道幂级数的定义。

知道幂级数在其收敛区间内的基本性质。

学会求幂级数的收敛半径、收敛区间的办法。

会运用麦克劳林公式，将一些简单的初等函数展开为幂级数。

7、常微分方程

一阶微分方程

1.常识范围

微分方程的定义

微分方程的概念 阶 解 通解 初始条件 特解

可离别变量的方程

一阶线性方程

2.需要

理解微分方程的概念，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。

学会可离别变量方程的解法。

学会一阶线性方程的解法。

可降价方程

1.常识范围

型方程

型方程

2.需要

会用降阶法解 型方程。

会用降阶法解 型方程。

二阶线性微分方程

1.常识范围

二阶线性微分方程解的结构

二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程

2.需要

知道二阶线性微分方程解的结构。

学会二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

学会二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。

考试形式及试题结构

试题总分：
150分

考试时间：
150分钟

考试方法：闭卷，笔试

试题内容比率：

函数、极限和连续 约15%

一元函数微分学 约25%

一元函数积分学 约20%

多元函数微积分 约20%

无穷级数 约10%

常微分方程 约10%

试题题型比率：

选择题 约15%

填空题 约25%

解答卷 约60%

考试试题难易比率：

容易题 约30%

中等困难程度题 约50%

较难点 约20%

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